سری فوریه با خسروتاش

بررسی اضافه شدن هار مونیک ها در سری فوریه

{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }
T
{\displaystyle f(t+T)=f(t)}

گر  یک تابع متناوب با دوره تناوب {\displaystyle T} باشد (یا به عبارتی: ‎{\displaystyle f(t+T)=f(t)}‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت

{\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(\omega _{n}t)+b_{n}\sin(\omega _{n}t)]\,\!}
{\displaystyle \omega _{n}}
a_{n}
{\displaystyle a_{0}}
{\displaystyle b_{n}}

که در آن  هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب  را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نیست. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

  1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

{\displaystyle \int _{a}^{a+T}{\left\vert f(x)\right\vert }dx<\infty }
  1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
  2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

{\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i\omega _{n}t}\,\!}

و در اینجا:

{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)e^{-i\omega _{n}t}\,dt\,\!}

این رابطه با کمک ‌‌فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }(c_{n}cos({w_{n}}t)+ic_{n}sin({w_{n}}t))\,\!}
{\displaystyle c_{n}}

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که  به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,\!}

{\displaystyle c_{-n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+ib_{n})\,\!}

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی (به انگلیسی: line spectra) استفاده می‌شود.

{\displaystyle x={a_{0}+}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos({\omega _{k}}t+\theta _{k})\,\!}

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *