لگاریتم Logarithmus Logarithm

لُگاریتم یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = by باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت  نمایش می‌دهیم. مانند: 

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

In mathematics, the logarithm is the inverse function to exponentiation. That means the logarithm of a given number x is the exponent to which another fixed number, the base x, must be raised, to produce that number x. In the most simple case the logarithm counts repeated multiplication of the same factor; e.g., since 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, the “logarithm to base 10” of 1000 is 3. The logarithm of x to base b is denoted as logb (x) (or, without parentheses, as logbx, or even without explicit base as log x, when no confusion is possible). More generally, exponentiation allows any positive real number to be raised to any real power, always producing a positive result, so the logarithm for any two positive real numbers b and x where b is not equal to 1, is always a unique real number y. More explicitly, the defining relation between exponentiation and logarithm is:

{ exactly if 

For example, log2 64 = 6, as 64 = 26.

Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμόςarithmós,„Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl  zur Basis  ist also der Wert des Exponenten, wenn  als Potenz zur Basis {\displaystyle b}dargestellt wird, also diejenige Zahl {\displaystyle y}, welche die Gleichung {\displaystyle b^{y}=x} löst. Man schreibt ; weitere Notationen siehe Bezeichnungen. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von {\displaystyle x} zu {\displaystyle \log _{b}(x)}, ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis {\displaystyle b} jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis {\displaystyle b}.

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung  zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr.

Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *