بایگانی دسته: دسته‌بندی نشده

میانگین هندسی حسابی

{\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}

میانگین هندسی در ریاضیات، برابر است با ریشه nاُم حاصل‌ضرب n متغیر. بطور مثال میانگین هندسی دو عدد ۲ و ۸ برابر است با:

میانگین هندسی با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.:

{\displaystyle {\bigg (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}}

میانگین حسابی فهرستی از n عدد است (x۱،  x۲،  .  .  .،  xn). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد n برابر است با:

{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}

اینک ما این نابرابری را با نمادهای ریاضی معرفی می‌کنیم، ما می‌توانیم هر فهرست n تایی از اعداد نامنفی حقیقی انتخاب کنیم. (x۱،  x۲،  .  .  . ،  xn)

{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}},}

و حالت تساوی وقتی رخ می‌دهد؛ اگر و تنها اگر x۱ = x۲ = .  .  .  = xn باشند.

اصل کاوالیری


اصل کاوالیِری (به انگلیسی: Cavalieri’s principle) یا قضیهٔ کاوالیری که به افتخار ریاضی‌دان ایتالیایی بوناونتورا کاوالیری چنین نامگذاری شده‌است، عبارتست از:
در فضای دو بعدی: فرض کنید دو ناحیه در یک صفحه بین دو خط موازی در همان صفحه قرار گرفته‌اند. اگر هر خطی که موازی دو خط دیگر رسم شود، هر دو ناحیه را در پاره‌خط‌هایی با طول برابر قطع کند، آن دو ناحیه مساحت‌های برابر دارند.
در فضای سه بعدی: فرض کنید دو ناحیه در یک فضای سه بعدی بین دو صفحهٔ موازی در همان صفحه قرار گرفته‌اند. اگر هر صفحه‌ای موازی با دو صفحهٔ دیگر، هر دو ناحیه را در سطح مقطع‌هایی با مساحت برابر قطع کند، حجم آن دو ناحیه با هم برابر است.
اصل کاوالیری ار روش افنا در یونان باستان حاصل شده است. نتایج این اصل را می‌توان مستقیماً با انتگرال به دست آورد و امروزه اصل کاوالیری پیش‌درآمدی بر انتگرال محسوب می‌شود.

فیبوناچی در طبیعت

In mathematics, the Fibonacci numbers, commonly denoted Fn form a sequence, called the Fibonacci sequence, such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}

and{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},}

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},}

for n > 1.

One has F2 = 1. In some books, and particularly in old ones, F0, the “0” is omitted, and the Fibonacci sequence starts with F1 = F2 = 1. The beginning of the sequence is thus:{\displaystyle (0,)\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots }

{\displaystyle (0,)\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots }