بایگانی دسته: دسته‌بندی نشده

معادلات دیفرانسیل تصادفی

تشکیل برخی از معادله های تصادفی و آشنایی با روش کار فرمول ایتو

معادله دیفرانسیل واسیچک Vasicek منتسب به Oldřich Vašíček

finance, the Vasicek model is a mathematical model describing the evolution of interest rates. It is a type of one-factor short rate model as it describes interest rate movements as driven by only one source of market risk. The model can be used in the valuation of interest rate derivatives, and has also been adapted for credit markets. It was introduced

The model specifies that the instantaneous interest rate follows the stochastic differential equation:{\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}

dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}

in 1977 by Oldřich Vašíček,[1] and can be also seen as a stochastic investment model.

فرمول ایتو

می دانید که در الکتریسیته همیشه بحث نویز وجود دارد . و بررسی مدار با نویز به کمک معادلات دیفرانسیل تصادفی صورت می پذیرد که در اینجا نوع ساده ای از ان را نمایش داده ام ارادتمند :خسروتاش

یکی از معروف ترین معادلات دیف تصادفی معادله ای است که فاقد دریفت می باشد و در سمت راست آن فقط انتشار هست . این معادله در مدل نرخ بهره و زیان – رشد و زوال …کاربرد دارد

dx(t)=t(t,x).x.dt+g(t,x).x.dB(t) این معادله خیلی کلی بوده و حالات زیادی از آن قابل استخراج هستند . کاربرد در مدل رشد و زوال جمعیت ها و همچنین مدل های نرخ بهره یا حتی اصطکاک در مکانیک و…را داراست

معادله دیفرانسیل لانگوین حل تحلیلی قدم به قدم

مثال بسیار معروف که تفاوت انتگرال گیری استراتونویچ و ایتو را نشان می دهد

نام گذاری حساب ایتو پس از گسترش روشهای محاسبه فرایندهای اتفاقی مانند حرکت براونی (وینر روند را ببینید) توسط Kiyoshi Itô انجام شد. این روشها کاربردهای مهمی در ریاضی مالی و معادلات دیفرانسیل اماری دارد.

مفهوم محوری انتگرال تصادفی Itô است، یک تعمیم تصادفی انتگرال ریمان–Stieltjes. در اینجا چیزی که از آن انتگرال گرفته می‌شود و نتیجه فرایندها ی تصادفی اند:

{\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}

که در آن H فرایند محلی مربع-انتگرال‌پذیر طبق filtration تولید شده بر حسب X که یک حرکت براونی یا به‌طور کلی تر یک semimartingale است. نتیجه انتگرال یک فرایند تصادفی دیگر است.


قدم زدن تصادفی

random walk is a mathematical object, known as a stochastic or random process, that describes a path that consists of a succession of random steps on some mathematical space such as the integers. An elementary example of a random walk is the random walk on th

\mathbb {Z}

, which starts at 0 and at each step moves +1 or −1 with equal probability. Other examples include the path traced by a molecule as it travels in a liquid or a gas, the search path of a foraginganimal, the price of a fluctuating stock and the financial status of a gambler: all can be approximated by random walk models, even though they may not be truly random in reality. As illustrated by those examples, random walks have applications to engineering and many scientific fields including ecologypsychologycomputer sciencephysicschemistrybiology as well as economics. Random walks explain the observed behaviors of many processes in these fields, and thus serve as a fundamental model for the recorded stochastic activity. As a more mathematical application, the value of π can be approximated by the use of random walk in an agent-based modeling environment.[1][2] The term random walk was first introduced by Karl Pearson in 1905.[3]

معادله دیفرانسیل تصادفی که فقط دیفیوژن دارد

حل معادله به فرم dx(t)=g.x.dB(t)

حرکت براونی برای لکه جوهر در آب

در سال ۱۸۲۷ رابرت براون گیاه شناس هنگامی که توسط میکروسکوپ به گرده های گیاه معلق در آب نگاه می کرد، متوجه حرکت ذرات در آب شد، ولی نتوانست توجیهی برای آن پیدا کند. اتم و مولکول بسیار پیشتر از آن شناخته شده بودند، اما این آلبرت اینشتین بود که چند دهه بعد در مقاله ای که در ۱۹۰۵ منتشر کرد توضیح داد که حرکتی که براون مشاهده کرده در نتیجه برخورد مولکول های آب با گرده بوده است.

شبیه سازی حرکت کاتوره ای براونی

فیلم های آموزشی آپارات برای دوره دوم به بالا

سهمی و کاربرد آن در صنعت و طبیعت و معاری

در ریاضیات سَهمیمکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که شَلجَمی هم نامیده می‌شود یکی از مقاطع مخروطی می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند بوجود بیاید.

In mathematics, a parabola is a plane curve that is mirror-symmetrical and is approximately U-shaped. It fits several superficially different other mathematical descriptions, which can all be proved to define exactly the same curves.

معادله درجه دو و کاربرد آن در صنعت و طبیعت و معاری

در ریاضیات سَهمیمکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که شَلجَمی هم نامیده می‌شود یکی از مقاطع مخروطی می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند بوجود بیاید.

سهمی و کاربرد آن در بازی انگری بردز

فراکتال درخت فیثاغورثی

بَرخال[۱] یا فرکتال، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند.[۱] برخال‌ها یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای هستند و می توان استفاده های بسیاری از آن ها کرد

فهم ساده دایره و بیضی و سهمی و هذلولی به کمک یک چراغ قوه و تاباندن آن به سطح

اسید و باز

پی‌اچ یا پ هاش (به انگلیسیpH) یک کمیت مهملگاریتمی است که میزان اسیدی یا بازی بودن مواد را مشخص می‌کند. بیشتر آبزیان فقط در پی‌اچ بین ۵ تا ۹ زنده می‌مانند.

تعریف کوتاه و البته خلاصهٔ کاغذ پی اچ (P H): این معرف علاوه بر نشان دادن محیط اسیدی یا خنثی یا بازی میزان بازی یا اسیدی شدن محیط را هم نشان می‌دهد. برای مثال: رنگ کاغذ پی اچ آغشته به پرتقال نارنجی کمرنگ و آغشته به جوهر نمک قرمز پررنگ است.

مهم:اسید قوی آغشته به کاغذ پی اچ (قرمز) پررنگ و باز قوی آغشته به کاغذ پی اچ آبی پررنگ می‌شود.

نقش ph در سلامتی انسان ، بطور خلاصه : پایین بودن آن در بدن میتواند به مفهوم اسیدی بودن محیط اندام های انسانی باشد و باعث پوکی استخوان شود . در صورت پایین بودن پی اچ در بدن اولین نشانه های آن پوسیده شدن دندان ها بواسطه کمبود کلسیم می باشد زیرا متابولیسم بدن انسان بطور پیوسته نیاز به محیطی خنثی یا قلیایی دارد و برای جبران آن ، از استخوان ها یا دندان ها که منبعی سرشار ازکلسیم‌ هستند استفاده می کند و به این صورت باعث پوسیدگی استخوان ها و دندان ها می شود .‌پایین بودن پی اچ بیشتر در مادران شیرده و دختران بین سنین ۱۵ تا ۲۴ سال روی می دهد و سپس در سنین بالاتر و مخصوصا پس از زایمان دچار بیماری پوکی استخوان می شوند .‌ از این روی قرار داشتن ph در بدن انسان در محدوده خنثی بسیار حیاتی و مهم است .

فیثاغورث دیوانه نبود

عداد فیثاغورسی

{\displaystyle {(a,b,c)|a^{2}+b^{2}=c^{2},(a,b,c)\in \ N}}

شامل سه عدد طبیعی به صورت (a,b،c) هستند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c که طبیعی‌اند را فیثاغورسی گویند هرگاه a۲ + b۲ = c۲ باشد یا به عبارت ریاضی: ؛ اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند.

رادیان چیست ؟

در همهٔ موارد عملی، زاویه بر حسب واحدهایی اندازه‌گیری می‌شود که از تقسیم زاویهٔ راست (قائم) به اجزاء برابر به دست می‌آیند. اگر تعداد این اجزا ۹۰ باشد، واحد همان واحد آشنای درجهاست. تقسیم زاویهٔ راست به ۱۰۰ جزء برای نظام اعشاری ما مناسب‌تر است (واحد گرادیان)، ولی آن هم معرف همین شیوهٔ اندازه‌گیری است. اما در بررسی‌های نظری بهتر است برای مشخص کردنِ اندازهٔ زاویه، از شیوهٔ اساساً متفاوتی استفاده کنیم که آن را اندازهٔ رادیانی یا اندازه بر حسب رادیان می‌نامند.

بسیاری از فرمول‌های مهمی که شامل تابع‌های مثلثاتیِ زاویه‌ها هستند، در این نظام شکل ساده‌تری دارند تا در نظام اندازه‌گیری بر حسب درجه

کمانی از دایره با طول برابر با شعاع دایره متناظر است با زاویهٔ ۱ رادیان.

کمانی که اندازه آن با شعاع دایره برابر است

رادیان زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول آن با شعاع دایره برابر است.

Radian describes the plane angle subtended by a circular arc as the length of the arc divided by the radius of the arc. One radian is the angle subtended at the center of a circle by an arc that is equal in length to the radius of the circle. More generally, the magnitude in radians of such a subtended angle is equal to the ratio of the arc length to the radius of the circle; that is, θ = s / r, where θ is the subtended angle in radians, s is arc length, and r is radius. Conversely, the length of the enclosed arc is equal to the radius multiplied by the magnitude of the angle in radians; that is, s = .

As the ratio of two lengths, the radian is a “pure number” that needs no unit symbol, and in mathematical writing the symbol “rad” is almost always omitted. When quantifying an angle in the absence of any symbol, radians are assumed, and when degrees are meant the symbol ° is used.

A complete revolution is 2π radians (shown here with a circle of radius one and thus circumference 2π).

It follows that the magnitude in radians of one complete revolution (360 degrees) is the length of the entire circumference divided by the radius, or 2πr / r, or 2π. Thus 2π radians is equal to 360 degrees, meaning that one radian is equal to 180/π degrees.

{\displaystyle \ell _{arc}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}
{\displaystyle 1=2\pi \left({\frac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}
{\displaystyle 1={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}
{\displaystyle 360^{\circ }}
{\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}}

میانگین هندسی حسابی

{\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}

میانگین هندسی در ریاضیات، برابر است با ریشه nاُم حاصل‌ضرب n متغیر. بطور مثال میانگین هندسی دو عدد ۲ و ۸ برابر است با:

میانگین هندسی با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.:

{\displaystyle {\bigg (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}}

میانگین حسابی فهرستی از n عدد است (x۱،  x۲،  .  .  .،  xn). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد n برابر است با:

{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}

اینک ما این نابرابری را با نمادهای ریاضی معرفی می‌کنیم، ما می‌توانیم هر فهرست n تایی از اعداد نامنفی حقیقی انتخاب کنیم. (x۱،  x۲،  .  .  . ،  xn)

{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}},}

و حالت تساوی وقتی رخ می‌دهد؛ اگر و تنها اگر x۱ = x۲ = .  .  .  = xn باشند.

اصل کاوالیری


اصل کاوالیِری (به انگلیسی: Cavalieri’s principle) یا قضیهٔ کاوالیری که به افتخار ریاضی‌دان ایتالیایی بوناونتورا کاوالیری چنین نامگذاری شده‌است، عبارتست از:
در فضای دو بعدی: فرض کنید دو ناحیه در یک صفحه بین دو خط موازی در همان صفحه قرار گرفته‌اند. اگر هر خطی که موازی دو خط دیگر رسم شود، هر دو ناحیه را در پاره‌خط‌هایی با طول برابر قطع کند، آن دو ناحیه مساحت‌های برابر دارند.
در فضای سه بعدی: فرض کنید دو ناحیه در یک فضای سه بعدی بین دو صفحهٔ موازی در همان صفحه قرار گرفته‌اند. اگر هر صفحه‌ای موازی با دو صفحهٔ دیگر، هر دو ناحیه را در سطح مقطع‌هایی با مساحت برابر قطع کند، حجم آن دو ناحیه با هم برابر است.
اصل کاوالیری ار روش افنا در یونان باستان حاصل شده است. نتایج این اصل را می‌توان مستقیماً با انتگرال به دست آورد و امروزه اصل کاوالیری پیش‌درآمدی بر انتگرال محسوب می‌شود.