Parabola کەوانەبڕ سهمی Պարաբոլ قطع مكافئ

یک سهمی

در ریاضیات سَهمی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که شَلجَمی هم نامیده می‌شود یکی ازمقاطع مخروطی می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند بوجود بیاید.[۱]

Parabola

== Definition of a parabola as a locus of points ==

A parabola can be defined geometrically as a set of points ([[locus of points]]) in the Euclidean plane:

* A parabola is a set of points, such that for any point <math>P</math> of the set the distance <math>|PF|</math> to a fixed point <math>F</math>, the ”focus”, is equal to the distance <math>|Pl|</math> to a fixed line <math>l</math>, the ”directrix”:

:<math>\{P : |PF| = |Pl|\}</math>

سهمی مکان هندسی نقاطی از صفجه است که فاصله آنها از یک خط به نام هادی (ِ Directix) و یک نقطه به نام کانون ( Focus )، براب اند.

معادله

معادله ساده سهمی: می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است:

که ضرایب  تا  همگی ثابت و حقیقی بوده،  یا  غیر صفر هستند، و همچنین 

فیبوناچی Fibonacci हेमचन्द्र श्रेणी Ֆիբոնաչիի թվեր ژمارەی فیبۆناچی

در ریاضیات، سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد می‌گویند که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود به‌دست می‌آیند. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.

visualization for better leraningFibonacci sequence summation

Fibonacci spiral

In mathematics, the Fibonacci numbers are the numbers in the following integer sequence, called the Fibonacci sequence, and characterized by the fact that every number after the first two is the sum of the two preceding ones:[1][2]

Often, especially in modern usage, the sequence is extended by one more initial term:

Ֆիբոնաչիի թվեր կամ Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունթվային հաջորդականություն, որում առաջին երկու թվերն են 0 և 1, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ թինը հավասար է նախորդ երկու թվերի գումարին։ Հաջորդականության կոչվում է ի պատիվ միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզացու, ով հայտնի է եղել, որպես Ֆիբոնաչի[1][2][3]։

Ֆիբոնաչիի թվային հաջորդականությունը տրվում է  գծային ռեկուրենտ եղանակով.

معادله درجه دو

در ریاضیات به معادلات جبری با فرم عمومی زیر معادله درجه دو گفته می‌شود.

 

که   بیانگر یک عدد متغیر و  اعداد ثابت و حقیقی با شرط 0≠   هستند (در صورتی که  باشد معادله به یک معادله خطی تبدیل می‌شود)

روش کلی حل معادله درجه ۲

Quadratic equation general solution.
حل معادله درجه دو به روش مربع کامل ساختن در حالت کلی و بدست اوردن فرمول دلتا از روی آن .

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

 

راه حل عمومی آن به این شکل است:

که نماد “±” به معنی هر دو است

و  

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

  و b زوج باشد می‌توانیم بنویسیم :

 

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.

اعداد ثابت و  به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.

انتگرال گیری جزء به جزءIntegration by parts

انتگرال گیری جزء به جزء به روایت چند مثال با پویا نمایی توضیح داده شده است.

انتگرال‌گیری جزء به جزء در علم ریاضیات و بخصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیرممکن یا پیچیده است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می‌شود.

Integration by parts.gif

In calculus, and more generally in mathematical analysisintegration by parts or partial integration is a process that finds the integral of a product of functions in terms of the integral of their derivative and antiderivative. It is frequently used to transform the antiderivative of a product of functions into an antiderivative for which a solution can be more easily found. The rule can be derived in one line simply by integrating the product rule of differentiation.

If u = u(x) and du = u′(xdx, while v = v(x) and dv = v′(xdx, then integration by parts states that:

 _{

or more compactly:

Mathematician Brook Taylor discovered integration by parts, first publishing the idea in 1715.[1][2] More general formulations of integration by parts exist for the Riemann–Stieltjes and Lebesgue–Stieltjes integrals. The discrete analogue for sequences is called summation by parts.

Mathematics in other languages

mathématiques

wiskunde

matematyka

Mathematik

matemàtiques

rîyaze

matematika

математика

מָתֵימָטִיקָה

matemática

μαθηματικά

mathematiki

ગણિત

คณิตศาสตร์

ریاضي

מאטעמאטיק

математика

pāngarau

pākīkika

गणित

 अंक शास्त्र

ਗਣਿਤ

ሂሳብ

wiskunde

Matematikë

riyaziyyat

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

గణిత

stærðfræði

hisabati

matemātika

수학

Մաթեմատիկա

ගණිතය

matematiikka

matamataig

matemaatika

matématika

Matematikë

数学

 математика

numera

matematiko

ilimin lissafi

#mathématiques  #wiskunde #matematyka  #Mathematik #matemàtiques #rîyaze #matematika #математика #מָתֵימָטִיקָה #matemática #μαθηματικά #mathematiki  #ગણિત #คณิตศาสตร์ # ریاضي#מאטעמאטיק #математика  #pāngarau #pākīkika #गणित  # अंक शास्त्र  #ਗਣਿਤ  #ሂሳብ #wiskunde #Matematikë #riyaziyyat  #ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ  #గణిత #stærðfræði  #hisabati #matemātika #수학 #Մաթեմատիկա #ගණිතය  #matematiikka #matamataig #matemaatika #matématika #Matematikë #数学  # математика #numera #matematiko #ilimin lissafi 

لگاریتم Logarithmus Logarithm

لُگاریتم یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = by باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت  نمایش می‌دهیم. مانند: 

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

In mathematics, the logarithm is the inverse function to exponentiation. That means the logarithm of a given number x is the exponent to which another fixed number, the base x, must be raised, to produce that number x. In the most simple case the logarithm counts repeated multiplication of the same factor; e.g., since 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, the “logarithm to base 10” of 1000 is 3. The logarithm of x to base b is denoted as logb (x) (or, without parentheses, as logbx, or even without explicit base as log x, when no confusion is possible). More generally, exponentiation allows any positive real number to be raised to any real power, always producing a positive result, so the logarithm for any two positive real numbers b and x where b is not equal to 1, is always a unique real number y. More explicitly, the defining relation between exponentiation and logarithm is:

{ exactly if 

For example, log2 64 = 6, as 64 = 26.

Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμόςarithmós,„Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl  zur Basis  ist also der Wert des Exponenten, wenn  als Potenz zur Basis {\displaystyle b}dargestellt wird, also diejenige Zahl {\displaystyle y}, welche die Gleichung {\displaystyle b^{y}=x} löst. Man schreibt ; weitere Notationen siehe Bezeichnungen. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von {\displaystyle x} zu {\displaystyle \log _{b}(x)}, ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis {\displaystyle b} jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis {\displaystyle b}.

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung  zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr.

Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.

Common Math Errors اشتباهات متداول

Common Math Каталар

Vanliga matte fel

Bendrosios matematikos klaidos

Fælles matematiske fejl

Erros comuns de matemática

一般的な数学のエラー

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. Consider for instance the calculation (anomalous cancellation):

Although the conclusion  is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step. Another classical example of a howler is proving the Cayley-Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed howlers by Maxwell.[4] Outside the field of mathematics the term “howler” has various meanings, generally less specific.

اشتباهات رایج ریاضیات پایه در بین دانش آموزان

یادگیری درست و استفاده درست از فرمول های ریاضی باعث می شود تا دانش آموزان با انگیزه و رغبت بیشتری به درس بپردازند. در مقابل عدم استفاده صحیح از روابط ریاضی باعث نرسیدن به جواب صحیح و در نتیجه خستگی فکر دانش آموز و در نهایت بی انگیزه شدن را بدنبال دارد. شکی در این نیست که شناخت مشکل، گام بزرگی در راه برطرف کردن آن است. از این رو تعدادی از خطاهایی که مکررا توسط دانش آموزان انجام شده است را در این مقاله آورده ایم. در برخی موارد مشکل، عدم فهم درست بررسی شده است. گاهی این خطا ها سالها با دانش آموز هستند و در پایه های مختلف به ایجاد اشتباهات بیشتر دامن می زنند. این خطا ها معمولا در ابتدای یادگیری عبارات جبری شکل می گیرند و وقتی برطرف نمی شوند حتی دردانشگاه و دروس پایه مهندسی خود رانشان می دهند. منبع استخراج این خطاها حاصل سالیان تدریس و تصحیح برگه های دانش آموزان و دانشجویان بوده است.

  1. مقدمه

در این مقاله سعی کرده ایم تا تجربه سالها تدریس و تصحیح اوراق امتحانی در مدرسه و دانشگاه را از لحاظ خطاهای رایج نوشتن ریاضی بررسی کنیم. شکی نیست که یادگیری اصولی ریاضی تبعات مثبت زیادی در آینده فرد دارد. اگر دانش آموز درک صحیح از رفتار عبارات ریاضی پیدا کند و درست آنها را بکار برد، قطعا با انگیزه بیشتری ریاضی خواهد خواند و همین باعث می شود تا قدرت تحلیل وی بالاتر رود و به همین شکل می تواند در انتخاب رشته تحصیلی وی تاثیر گذار باشد. حال فرض کنید دانش آموزی بدلیل استفاده نادرست از یک عبارت ریاضی در آن مطلب ضعیف می شود، سپس انگیزه خود را برای مطالعه بیشتر ازدست می دهد و از آنجا که مطالب ریاضی زنجیر وار به هم متصل هستند با خرابی یک یا چند قسمت، کارایی کلی کاهش می یابد. این پدیده که امروزه خیلی هم شایع شده است می تواند به سایر مباحث نیز ضربه وارد کند و در نتیجه با ادامه و برطرف نشدن آن در دانشگاه لطمه بزرگی به دانش تخصصی و در نهایت به جامعه وارد خواهد شد. پس باید راهی برای رفع این مشکل یافت اما قبل از آن باید مشکل را پیدا کرد. ما سعی کرده ایم تا تعدادی از این نوع مشکلات را لیست کنیم. امید است که با اشتراک گذاری بین مدرسین و معلمین راه حل هایی در مورد برطرف ساختن این موارد پیدا شود.

نقل قول مطالب با ذکر منبع بلامانع است

جزءصحیح floor function

Floor and ceiling functions
Floor function
Ceiling function

In mathematics and computer science, the floor function is the function that takes as input a real number  and gives as output the greatest integer less than or equal to , denoted . Similarly, the ceiling function maps  to the least integer greater than or equal to , denoted 

The fractional part is the sawtooth function, denoted by  for real x and defined by the formula[11]

For all x,

Examples

x Floor  Ceiling 
2 2 2 0
2.4 2 3 0.4
2.9 2 3 0.9
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0

Order of operations تقدم اعمال ریاضی

In mathematics and computer programming, the order of operations (or operator precedence) is a collection of rules that reflect conventions about which procedures to perform first in order to evaluate a given mathematical expression.

For example, in mathematics and most computer languages, multiplication is granted a higher precedence than addition, and it has been this way since the introduction of modern algebraic notation.[1][2] Thus, the expression 2 + 3 × 4 is interpreted to have the value 2 + (3 × 4) = 14, not (2 + 3) × 4 = 20. With the introduction of exponents in the 16th and 17th centuries, they were given precedence over both addition and multiplication and could be placed only as a superscript to the right of their base.[1] Thus 3 + 52 = 28 and 3 × 52 = 75.

These conventions exist to eliminate ambiguity while allowing notation to be as brief as possible. Where it is desired to override the precedence conventions, or even simply to emphasize them, parentheses ( ) (sometimes replaced by brackets [ ] or braces { } for readability) can indicate an alternate order or reinforce the default order to avoid confusion. For example, (2 + 3) × 4 = 20 forces addition to precede multiplication, and (3 + 5)2 = 64 forces addition to precede exponentiation.

Examples

A horizontal fractional line also acts as a symbol of grouping:

For ease in reading, other grouping symbols, such as curly braces { } or square brackets [ ], are often used along with parentheses ( ). For example: